Regularity Results for Very Degenerate Elliptic Equations

We consider a family of elliptic equations introduced in the context of traffic congestion. They have the form ∇·(∇F(∇u)) = f , where F is a convex function which vanishes inside some convex set and is elliptic outside. Under some natural assumptions on F and f , we prove that the function ∇F(∇u) is continuous in any dimension, extending a previous result valid only in dimension 2 [14]. Résumé. Dans ce papier, nous considérons une famille d’équations elliptiques introduites dans le contexte d’un problème de transport congestionné. Ces équations sont de la forme ∇ · (∇F(∇u)) = f , où F est une fonction convexe qui vaut zéro sur un ensemble convexe et est uniformément elliptique au dehors de cet ensemble. Sous des conditions naturelles sur F et f , on démontre que la fonction ∇F(∇u) est continue en toutes dimensions, ce qui étend un résultat précèdent en dimension 2 [14].